Basiswissen Analysis

4 Folgen und Reihen (S. 71)

Die Beschäftigung mit Folgen und Reihen ist in der Mathema- tik und in den Anwendungen von sehr wesentlicher Bedeutung. Die Schwierigkeit beim Umgang mit diesen Konzepten besteht im Allgemeinen darin, dass erstmals der Aspekt des Unendlichen ins Spiel kommt und naturgemäß für einige Verwirrung sorgt.

Historisch gesehen war einer der Ersten, der sich damit im Rahmen eines kleinen Rätsels beschäftigte, der griechische Philosoph Zenon von Elea (ca. 490-425 v. Chr.). Er formulierte sinngemäß folgendes Problem:

Abb. 4.0-1: Achilles und die Schildkröte.

Achilles und eine Schildkröte (vgl. Abb. 4.0-1) laufen um die Wette. Da Achilles zehn mal so schnell wie die Schildkröte läuft, bekommt die Schildkröte einen Vorsprung von 10 Metern. Eigentlich müsste Achilles die Schildkröte schon bald überholen. Zenon argumentierte aber, dass das niemals passieren kann:

Achilles wird die Schildkröte niemals überholen, denn wenn Achilles den Startpunkt P1 der Schildkröte erreicht hat, dann hat sich die Schildkröte zum Punkt P2 weiterbewegt, hat also immer noch einen Vorsprung vor Achilles. Sobald Achilles den Punkt P2 erreicht hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter zum Punkt P3 gelaufen usw..

Achilles kann also niemals an der Schildkröte vorbeikommen, denn immer, wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte zuvor war, ist sie schon wieder ein Stück weiter. Die Anschauung und die Erfahrung lehrt, dass Achilles die Schildkröte schon sehr bald überholen müsste. Andererseits stellt Zenon eine Argumentationskette auf, nach der das nicht möglich ist.

Dieser scheinbare Widerspruch löst sich dadurch auf, dass in der Argumentation von Zenon nur ein Ausschnitt der Rennstrecke betrachtet wird, nämlich lediglich der Teil des Rennens, in dem sich Achilles in der Tat hinter der Schildkröte befindet.

Man nimmt also an, dass Achilles sich im Punkt P0 und die Schildkröte im Punkt P1 befindet, wobei P1 zehn Meter vor P0 liege. Sobald Achilles den Punkt P1 erreicht hat, befindet sich die Schildkröte im Punkt P2. P2 liegt nur ein Meter von P1 entfernt (denn die Schildkröte ist nur 1 10 so schnell wie Achilles).

Wenn Achilles den Punkt P2 erreicht, befindet sich die Schildkröte am Punkt P3, der nur 0.1 Meter von P2 entfernt ist. Der Punkt P3 ist also 11.1 Meter vom Startpunkt P0 entfernt. Allgemein gilt somit: Der Punkt Pi ist 11.11...1 Meter (mit insgesamt i Einsen) vom Startpunkt P0 entfernt. Egal wie groß i gewählt wird, der Wert für Pi, also die von Achilles zurückgelegte Strecke, bleibt immer unter 11.111... Metern (mit insgesamt unendlich vielen Einsen). Wenn i gegen unendlich strebt, strebt die betrachtete Strecke also gegen 11.111... Meter.

Ebenso verhält es sich mit der Zeit. Wenn Achilles z.B. ein Meter pro Sekunde läuft, dann wird ein Zeitraum von 11.111... Sekunden betrachtet. Folglich ist die Aussage, dass Achilles die Schildkröte niemals überholen wird, falsch. Richtig ist, dass Achilles die Schildkröte in dem betrachteten Zeitraum von 11.111... Sekunden nicht überholen wird.