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Analysis II
von: Herbert Amann, Joachim Escher
Birkhäuser, 2006
ISBN: 9783764374020, 428 Seiten
2. Auflage
Format: PDF, OL
Preis: 26,99 EUR
Ersparnis: 2,96 EUR
Vorwort
6
Inhaltsverzeichnis
8
Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen
14
1 Sprungstetige Funktionen
17
Treppen- und sprungstetige Funktionen
17
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen
19
Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen
20
2 Stetige Erweiterungen
23
Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen
23
Beschränkte lineare Operatoren
25
Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren
28
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral
30
Das Integral für Treppenfunktionen
30
Das Integral für sprungstetige Funktionen
32
Riemannsche Summen
33
4 Eigenschaften des Integrals
39
Integration von Funktionenfolgen
39
Das orientierte Integral
40
Positivität und Monotonie des Integrals
41
Komponentenweise Integration
44
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
45
Das unbestimmte Integral
46
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
48
5 Die Technik des Integrierens
52
Variablensubstitution
52
Partielle Integration
54
Die Integration rationaler Funktionen
57
6 Summen und Integrale
64
Die Bernoullischen Zahlen
64
Rekursionsformeln
66
Die Bernoullischen Polynome
67
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel
68
Potenzsummen
70
Asymptotische Äquivalenz
71
Die Riemannsche .-Funktion
73
Die Sehnentrapezregel
78
7 Fourierreihen
82
Das L2-Skalarprodukt
82
Die Approximation im quadratischen Mittel
84
Orthonormalsysteme
86
Die Integration periodischer Funktionen
87
Fourierkoeffizienten
88
Klassische Fourierreihen
89
Die Besselsche Ungleichung
93
Vollständige Orthonormalsysteme
94
Stückweise stetig differenzierbare Funktionen
97
Gleichmäßige Konvergenz
98
8 Uneigentliche Integrale
105
Zulässige Funktionen
105
Uneigentliche Integrale
105
Der Integralvergleichssatz für Reihen
108
Absolut konvergente Integrale
109
Das Majorantenkriterium
110
9 Die Gammafunktion
114
Die Eulersche Integraldarstellung
114
Die Gammafunktion auf C\( N)
115
Die Gaußsche Darstellung
116
Die Ergänzungsformel
120
Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion
121
Die Stirlingsche Formel
124
Das Eulersche Betaintegral
127
Kapitel VII Differentialrechnung mehrerer Variabler
132
1 Stetige lineare Abbildungen
135
Die Vollständigkeit von L(E,F)
135
Endlichdimensionale Banachräume
136
Matrixdarstellungen
140
Die Exponentialabbildung
142
Lineare Differentialgleichungen
145
Das Gronwallsche Lemma
147
Die Variation-der-Konstanten-Formel
149
Determinanten und Eigenwerte
151
Fundamentalmatrizen
154
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
158
2 Differenzierbarkeit
167
Die Definition
167
Die Ableitung
168
Richtungsableitungen
170
Partielle Ableitungen
172
Die Jacobimatrix
174
Ein Differenzierbarkeitskriterium
174
Der Rieszsche Darstellungssatz
176
Der Gradient
178
Komplexe Differenzierbarkeit
180
3 Rechenregeln
185
Linearität
185
Die Kettenregel
185
Die Produktregel
188
Mittelwertsätze
188
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen
190
Notwendige Bedingungen für lokale Extrema
190
4 Multilineare Abbildungen
193
Stetige multilineare Abbildungen
193
Der kanonische Isomorphismus
195
Symmetrische multilineare Abbildungen
197
Die Ableitung multilinearer Abbildungen
197
5 Höhere Ableitungen
201
Definitionen
201
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
204
Die Kettenregel
206
Taylorsche Formeln
206
Funktionen von m Variablen
208
Hinreichende Kriterien für lokale Extrema
209
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung
217
Nemytskiioperatoren
217
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren
218
Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren
219
Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen
222
Variationsprobleme
224
Die Euler-Lagrangesche Gleichung
226
Klassische Mechanik
230
7 Umkehrabbildungen
234
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen
234
Der Satz über die Umkehrabbildung
236
Diffeomorphismen
239
Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme
240
8 Implizite Funktionen
243
Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen
243
Der Satz über implizite Funktionen
245
Reguläre Werte
248
Gewöhnliche Differentialgleichungen
249
Separation der Variablen
251
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit
255
Der Satz von Picard-Lindelöf
257
9 Mannigfaltigkeiten
265
Untermannigfaltigkeiten des Rn
265
Graphen
266
Der Satz vom regulären Wert
266
Der Immersionssatz
268
Einbettungen
270
Lokale Karten und Parametrisierungen
275
Kartenwechsel
278
10 Tangenten und Normalen
283
Das Tangential in Rn
283
Der Tangentialraum
284
Charakterisierungen des Tangentialraumes
288
Differenzierbare Abbildungen
289
Das Differential und der Gradient
292
Normalen
294
Extrema mit Nebenbedingungen
295
Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
296
Kapitel VIII Kurvenintegrale
302
1 Kurven und ihre Länge
304
Die totale Variation
304
Rektifizierbare Wege
304
Differenzierbare Kurven
307
Rektifizierbare Kurven
310
2 Kurven in Rn
315
Tangenteneinheitsvektoren
315
Parametrisierungen nach der Bogenlänge
316
Orientierte Basen
317
Das Frenetsche n-Bein
318
Die Krümmung ebener Kurven
321
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen
323
Krümmungskreise und Evoluten
324
Das Vektorprodukt
325
Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven
327
3 PfaffscheFormen
331
Vektorfelder und Pfaffsche Formen
331
Die kanonischen Basen
333
Exakte Formen und Gradientenfelder
335
Das Poincarésche Lemma
338
Duale Operatoren
340
Transformationsregeln
341
Moduln
345
4 Kurvenintegrale
350
Die Definition
350
Elementare Eigenschaften
352
Der Hauptsatz über Kurvenintegrale
354
Einfach zusammenhängende Mengen
356
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals
357
5 Holomorphe Funktionen
364
Komplexe Kurvenintegrale
364
Holomorphie
367
Der Cauchysche Integralsatz
368
Die Orientierung der Kreislinie
370
Die Cauchysche Integralformel
370
Analytische Funktionen
372
Der Satz von Liouville
374
Die Fresnelschen Integrale
374
Das Maximumprinzip
376
Harmonische Funktionen
377
Der Satz von Goursat
379
Der Weierstraßsche Konvergenzsatz
382
6 Meromorphe Funktionen
386
Die Laurentsche Entwicklung
386
Hebbare Singularitäten
390
Isolierte Singularitäten
390
Einfache Pole
394
Die Windungszahl
396
Die Stetigkeit der Umlaufzahl
400
Der allgemeine Cauchysche Integralsatz
402
Der Residuensatz
404
Fourierintegrale
405
Literaturverzeichnis
414
Index
416
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