Modellierung - Grundlagen und formale Methoden

2 Modellierung mit Wertebereichen (S. 25-26)

In Modellen von konkreten oder abstrakten Systemen oder Aufgaben kommen Objekte unterschiedlicher Art und Zusammensetzung vor. Damit die Beschreibung nicht nur ein Beispiel, sondern hinreichend allgemein ist, gibt man für einige Teile des Modells nur an, von welcher Art sie sind, lässt aber offen, welches individuelle Objekt dafür eingesetzt wird. Dafür fassen wir alle infrage kommenden Objekte in einem Wertebereich zusammen, der ihre gemeinsamen, für das Modell relevanten Eigenschaften charakterisiert. Welcher Wert aus dem Wertebereich gewählt wird, kann dann im Modell offen bleiben. Betrachten wir als kleines Beispiel folgende informell formulierte Aufgabe:

Aufgabe 2.1 Ziehe drei Karten aus einem Kartenspiel. Bestimme die höchste der drei Karten.

Um diese Aufgabe zu präzisieren, müssen wir den Wertebereich für Karten eines Kartenspiels charakterisieren: Jede Karte wird durch zwei Angaben beschrieben: die Kartenart: Kreuz, Pik, Herz oder Karo, und das Kartensymbol: 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass. Jedes Einzelne ist ein Wertebereich. Alle Kombinationen aus einer Kartenart und einem Kartensymbol bilden den Wertebereich eines Kartenspiels, aus dem einzelne Karten als Elemente stammen. Den zweiten Teil der Aufgabe können wir präzisieren, indem wir eine Relation angeben, die für je zwei Karten entscheidet, welche höher ist. Solch eine Relation besteht aus einer Menge von Kartenpaaren. Je nach Spielregel kann es unterschiedliche solcher Vergleichsrelationen geben. Jede von ihnen ist aber Element aus demselben Wertebereich und erfüllt Anforderungen, die an Ordnungsrelationen gestellt werden.

In diesem Kapitel führen wir abstrakte Konzepte ein, mit denen man Wertebereiche für einfache und zusammengesetzte Werte präzise angeben kann. Wertebereiche sind Mengen, die beim Formulieren eines Modells eine bestimmte Rolle spielen. In Abschnitt 2.1 stellen wir deshalb die wichtigsten Begriffe der Mengenlehre vor.

Definition 2.1: Wertebereich

Ein Wertebereich ist eine Menge von Werten, die im Sinne eines Modells als gleichartig angesehen werden: Wo ein Wert eines Wertebereiches W gefordert wird, kann prinzipiell jedes Element aus W diese Rolle übernehmen.

Die Gleichartigkeit im Sinne des Modells illustriert der Wertebereich der Kartensymbole im obigen Beispiel: Er enthält so unterschiedliche Werte wie „10" und „Bube", da sie bei der Identifikation von Spielkarten die gleiche Rolle haben.

Aus Wertebereichen für einfache Werte, wie den Kartensymbolen oder Kartenarten, kann man Wertebereiche für zusammengesetzte Werte bilden, z.B. Paare zur Identifikation von Spielkarten. Dafür stellen wir in den Abschnitten 2.2 bis 2.7 die grundlegenden Begriffe Potenzmengen, kartesische Produkte, Vereinigungen, Folgen, Relationen und Funktionen vor. Dabei geben wir jeweils typische Anwendungsbeispiele an und weisen auf spezielle Modellierungstechniken hin.

Durch die Abschnitte hindurch werden wir jeweils Beiträge zu einer zusammenhängenden Modellierungsaufgabe entwickeln. Sie wird hier informell beschrieben und später schrittweise formalisiert:

Beispiel 2.1: Arbeitskreise der EU

Die EU-Kommission hat beschlossen, die Entscheidungsprozesse der EU mit formalen Methoden zu modellieren. Damit sollen drei Arbeitskreise befasst werden. An der Aktion beteiligen sich zunächst die Nationen Deutschland, Frankreich, Österreich und Spanien. Jede entsendet drei Delegierte. Die Arbeitskreise sollen so gebildet werden, dass in jedem Arbeitskreis jede Nation vertreten ist und dass unter Berücksichtigung der Fremdsprachenkenntnisse der Delegierten es in jedem Arbeitskreis eine gemeinsame Sprache gibt, die alle beherrschen. Es soll nur die Situation modelliert werden, ein Lösungsverfahren wird nicht gesucht.