Kapitel 1

Die Krabbelkiste der Mathematik

In diesem Kapitel

Ich habe lange überlegt, was ich in diese Krabbelkiste hineinlege. Es gibt viele mathematische Voraussetzungen, die so grundlegend sind, dass Sie jeder von Ihnen wissen sollte. Ich müsste Ihnen eigentlich nichts mehr über Bruchrechnung erzählen, aber ich möchte, dass Sie sicher im Umgang mit Brüchen sind. Prozentrechnung ist Bestandteil des täglichen Lebens – eine kurze Wiederholung schadet nicht. Gleichungen und Ungleichungen spielen in der Mathematik (und auch in den späteren Kapiteln) eine große Rolle. Ich setze diese Dinge ab Kapitel 2 voraus, lesen Sie bitte nicht darüber hinweg. Nehmen Sie sich Zeit für dieses erste Kapitel.

Logische Grundlagen

Die Mathematische Logik ist ein Grundbestandteil der Mathematik. Wenn Sie einen Mathematiker sprechen hören, dann definiert er Begriffe, die er dann im Weiteren verwendet, insbesondere auch in mathematischen Aussagen, die er behauptet und beweist.

Wahre und falsche Aussagen

Eine solche Aussage kann sich hinreichend kompliziert gestalten und dieses Buch wimmelt von Aussagen, durch die ich Sie schrittweise führen werde. Die Aussagen, die ich hier in diesem Buch behaupte, so behaupte ich jetzt hier, sind alle wahr, also nicht falsch. Und hier erkennen Sie eine der wesentlichen Eigenschaften von mathematischen Aussagen: Man kann ihnen einen sogenannten Wahrheitswert zuordnen, nämlich entweder »wahr« oder »falsch«. So ist die Aussage Sonntag ist ein Wochentag eine wahre Aussage.

Manchmal jedoch hängt dieser Wahrheitswert vom jeweiligen Auge des Betrachters ab. So ist die Aussage Sonntags arbeite ich nicht für die meisten Arbeitnehmer wahr, aber dennoch bin ich froh, dass der Bäcker meines Vertrauens mich jeden Sonntag mit frischen Brötchen versorgt. Für diese Angestellten ist die obige Aussage nicht immer wahr.

In der Mathematik werden Sie häufig sehen, dass viele Objekte mit Buchstaben, so genannten Variablen, abgekürzt werden. Dabei verwendet man fast alle Buchstaben, die man so finden kann – große und kleine, dabei jeweils lateinische (a, b, c, …) und griechische (α, β, γ, …), selbst vor kyrillischen Buchstaben (а, б, в, …) scheut man sich heute nicht mehr.

Aussagen verknüpfen

Im Folgenden verwende ich lateinische Großbuchstaben für Aussagen: A, B usw. Es gibt einfache Verknüpfungen zwischen Aussagen, die Sie immer wieder benötigen werden.

Einige Beispiele: Die Aussage 1 ≤ 2 bezeichnen wir jetzt mit A. Damit ist A eine wahre Aussage. Die Negation ¬A ist also die Aussage 1 > 2 und somit offenbar falsch. Zusammen mit den Aussagen B beziehungsweise C gegeben durch 1·1 = 2 beziehungsweise 1 + 1 = 2 ist die Aussage A ∧ B, also 1 ≤ 2 ∧ 1 ⋅ 1 = 2, falsch, da B eine falsche Aussage ist, aber A ∧ C, also 1 ≤ 2 ∧ 1 + 1 = 2, wahr, da sowohl A als auch C wahr sind. Weiterhin sind die Aussagen A ∨ B und A ∨ C, also 1 ≤ 2 ∨ 1 ⋅ 1 = 2 und 1 ≤ 2   ∨ 1 + 1 = 2 beide wahr, denn mindestens ein Bestandteil ist wahr.

Jetzt bitte aufpassen! Die Implikation A → C und B → A, also 1 ≤ 2 → 1 + 1 = 2 und 1 ⋅ 1 = 2 → 1 ≤ 2, sind wahr, aber die Aussage A → B, also 1 ≤ 2 → 1 ⋅ 1 = 2, ist falsch! Dagegen ist die Aussage A ↔ C und auch A ↔ ¬B wahr, also 1 ≤ 2 ↔ 1 + 1 = 2 und 1 ≤ 2   ↔   1 ⋅ 1 ≠ 2.

Insbesondere sehen Sie, dass die beiden Bedingungen links und rechts von einem (Doppel‐) Pfeil nicht unbedingt etwas miteinander zu tun haben müssen.

Ein Beispiel: Wenn Sie sich in den reellen Zahlen bewegen, dann ist die Aussage x2 = 4 äquivalent zu der Aussage x = − 2   ∨ x = 2. Wenn Sie allerdings nur die natürlichen Zahlen betrachten, dann gibt es dort keine negativen Zahlen. Dann gilt sogar , das heißt, Sie müssen immer genau wissen, über welche Zahlbereiche Ihre Variablen laufen.

Quantoren in den Griff bekommen

Wenn Sie tiefer in die Mathematik einsteigen, kommen Sie an bestimmten Schreibweisen nicht vorbei. So werden häufig die sogenannten Quantoren ∀ und ∃ verwendet. Hierbei bedeutet das auf dem Kopf stehende »A« die Wortgruppe »für alle« und das gespiegelte »E« die Wortgruppe »es existiert«.

Ein Beispiel: Die Aussage über den reellen Zahlen besagt, dass das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl nicht negativ ist. Dagegen besagt die Aussage ∀ x ∃ y(x + y = 0), dass es zu jedem x ein y gibt, so dass die Summe beider Variablen x + y gerade 0 ist.

So ist es ein Unterschied, ob es zu jedem x ein y gibt oder ob es ein einziges y gibt, so dass für alle x eine Aussage gilt.

Ein Beispiel: Betrachten Sie die Aussage ∀ x ∃ y(x < y) und ∃ x ∀ y(x < y) über den reellen Zahlen. Die erste Aussage besagt, dass es zu jeder Zahl eine größere gibt – das ist sicherlich wahr. Die zweite dagegen behauptet, dass es eine Zahl gibt, so dass alle Zahlen größer sind als die vorgegebene – das ist mit Sicherheit falsch!

Zahlen und Fakten

Es gibt viele Gesetze, die ich nennen könnte, aber dies soll keine Formelsammlung werden. Stattdessen möchte ich vor allem auf die Schummelseiten vorn in diesem Buch verweisen, die wesentliche Fakten, Regeln und Gesetze enthalten. Ein paar Dinge bleiben aber noch zu erwähnen.

Die Zahlbereiche im Visier

Wenn Sie in der Grundschule rechnen gelernt haben, dann haben Sie angefangen, die Zahlen aufzuzählen als: 1, 2, 3, 4, … Nie konnten Sie ahnen, dass da noch etwas hinzukommen würde. Diese Zahlen werden natürliche Zahlen genannt und mit dem Symbolℕabgekürzt. Ehrlich gesagt zähle ich die 0 noch dazu, aber Sie finden genauso viele Bücher, in denen 0 eine natürliche Zahl ist, wie andere, in denen sie es nicht ist. Das ist mathematische Kosmetik. Unabhängig davon können Sie in den natürlichen Zahlen addieren und multiplizieren, aber nur eingeschränkt subtrahieren und fast gar nicht dividieren.

Wenn Sie die natürlichen Zahlen alle noch einmal kopieren, an der 0 spiegeln und vor jede dieser Kopien ein Minuszeichen schreiben, dann erhalten Sie die ganzen Zahlen, nämlich: …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …. Diese kürzen Sie mit ℤab. Im Unterschied zu den natürlichen Zahlen gibt es hier keine kleinste Zahl. Dafür können Sie weiterhin addieren, multiplizieren und sogar subtrahieren – nur dividieren ist immer noch kaum möglich.

Die rationalen Zahlen haben die Gestalt ,...