MATLAB und Mathematik kompetent einsetzen - Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1 Grundkenntnisse von MATLAB

1.1 Bekanntschaft schließen mit MATLAB

1.1.1 Die Arbeitsoberfläche von MATLAB

1.1.2 Zum Einstieg: Berechnungen mit einfachen Zahlen

1.1.3 Befehlsstruktur: ein erster Überblick

1.1.4 Berechnung oder Formel-Manipulation?

1.1.5 Tabellen, Vektoren und Matrizen

1.1.6 Hintergrundinformation und Hilfefunktionen

1.1.7 Datenaustausch mit Files

1.2 Grundlagen der Matrizenrechnung

1.2.1 Definitionen und Fachausdrücke

1.2.2 Indizieren der Matrixelemente

1.2.3 Das Transponieren einer Matrix

1.2.4 Addition und Subtraktion von Matrizen

1.2.5 Das Produkt von zwei Matrizen

1.2.6 Die Einheitsmatrix

1.2.7 Kann man durch Matrizen dividieren?

1.3 Matrizenrechnung mit MATLAB

1.3.1 Einstieg in die Matrizenrechnung mit MATLAB

1.3.2 Indizieren in MATLAB

1.3.3 Beispiele zur Schleifenprogrammierung

1.3.4 Turmmatrizen (Permutationsmatrizen)

1.3.5 Einfache Beispiele von linearen Gleichungssystemen

1.3.6 Matrizen zur Darstellung von Daten

1.4 Schritte zum eigenen Programm

1.4.1 Skript-M-Files und Funktions-M-Files

1.4.2 Objekt-Orientiertes Programmieren

1.5 Einfache grafische Darstellungen mit MATLAB

1.5.1 Funktionsdarstellungen

1.5.2 Polygone, Kreise, Sterne

1.5.3 Flächen malen

1.5.4 Properties von grafischen Objekten

1.6 Übersicht über die wichtigsten Grundbefehle in MATLAB

1.6.1 In MATLAB definierte Operatoren und Grundbefehle

1.6.2 Das Definieren von Zahlen, Matrizen und Vektoren

1.6.3 Schleifen und Bedingungen

1.6.4 Mathematische Funktionen

1.6.5 Grundfunktionen im symbolischen Modus

1.6.6 „struct“- und „cell“-Variablen

1.6.7 Grafische Darstellungen

1.7 MATLAB Grundlagen aktivieren

2 Auffrischen der Elementarmathematik

2.1 Basiswissen zum Funktionsbegriff

2.1.1 Funktionen als spezielle Relationen

2.2 Linienplots in MATLAB

2.2.1 Grundfunktionen kennenlernen mit MATLAB

2.2.2 Kurven in Parameterdarstellung

2.2.3 Spiralen

2.2.4 Zykloiden

2.2.5 Weitere Mathematische Klassiker

2.2.6 Die „Versiera di Agnesi“

2.2.7 Interpolationsfunktionen

2.2.8 Ausflug ins Dreidimensionale

2.3 Folgen und Reihen

2.3.1 Arithmetische Folgen und Reihen

2.3.2 Geometrische Folgen und Reihen

2.3.3 Die Anwendung bei Zinsberechnungen

2.3.4 Beherrschbare Unendlichkeit

2.3.5 Fibonacci-Folgen

2.4 Keine Angst vor komplexen Zahlen!

2.4.1 Die Rechenregeln für komplexe Zahlen

2.4.2 Die n-ten Einheitswurzeln

2.4.3 Die n-ten Wurzeln aus beliebigen Zahlen

2.4.4 Komplexe Zahlen näher kennenlernen

2.4.5 Beschreibung von stationären Schwingungen

2.5 Elementarmathematik aktivieren

3 Basiswissen zur Linearen Algebra

3.1 Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösbarkeit

3.1.1 Gleichungssystem und zugehörige Matrizengleichung

3.1.2 Die verschiedenen Fälle der Lösbarkeit

3.1.3 Die Bedingungen zur eindeutigen Lösbarkeit – Regularität

3.1.4 Die wichtigsten Fachausdrücke der Lösbarkeitsdiskussion

3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren

3.1.6 Lineare Systeme und ihre Teilräume

3.1.7 Die Determinante einer Matrix

3.2 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen

3.2.1 Gleichungssysteme aus Tabellenkalkulationen

3.2.2 Kirchhoff’sche Netze

3.2.3 Statik von Tragwerken

3.2.4 Dünn besetzte Matrizen

3.2.5 Polynombestimmung

3.3 Orthogonalität und Projektionen

3.3.1 Orthogonale Vektoren

3.3.2 Projektionen von Vektoren

3.3.3 Orthogonale Teilräume

3.3.4 Orthogonale Matrizen

3.4 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

3.4.1 Die Bedeutung der Dreiecksmatrizen

3.4.2 Der Gauß-Algorithmus

3.4.3 Der Gauß-Algorithmus mit MATLAB

3.4.4 Das Vertauschen von Zeilen: Pivot-Suche

3.4.5 Die L-R-Zerlegung

3.4.6 Der Gauß-Jordan-Algorithmus

3.4.7 Singuläre Systeme

3.4.8 Die Q-R-Zerlegung

3.5 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.5.1 Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren

3.5.2 Wiederholte Abbildungen durch Matrizen

3.5.3 Lösungsmethoden für Eigenwertprobleme

3.5.4 Stabilität von Systemen

3.6 Probleme mit der endlichen Rechengenauigkeit

3.6.1 Die Zahlendarstellung im Computer

3.6.2 Auslöschung, Stabilität und Wohldefiniertheit

3.6.3 Die Kondition einer Matrix

3.6.4 Die Option digits

3.7 Lineare Algebra aktivieren

4 Ebenen- und Raumgeometrie

4.1 Vektoren in der Elementargeometrie

4.1.1 Addition und Subtraktion von Vektoren

4.1.2 Produkte zwischen Vektoren

4.2 Beispiele aus der Raumgeometrie

4.2.1 Geometrische Grundelemente

4.2.2 Geometrische Grundaufgaben

4.2.3 Anwendungsbeispiele

4.3 Längen und Winkel in höheren Dimensionen

4.4 Matrixformulierung geometrischer Abbildungen

4.5 Abbildungen in homogenen Koordinaten

4.5.1 Das Prinzip der homogenen Koordinaten

4.5.2 Homogene Koordinaten in der Ebene

4.5.3 Homogene Koordinaten im Raum

4.6 Vektorgeometrie aktivieren

5 Funktionensysteme, Fourier-Transformation und Faltung

5.1 Unendliche Reihen von Funktionen

5.1.1 Potenzreihen

5.1.2 MacLaurin- und Taylor-Entwicklungen

5.1.3 Integration mit Potenzreihen

5.2 Orthogonalpolynome

5.2.1 Orthogonalität von Funktionen

5.2.2 Die Wirkung der Orthogonalität

5.2.3 Tschebyscheff-Polynome

5.3 Fourier-Reihen, Fourier-Transformation

5.3.1 Definition der Fourier-Reihen

5.3.2 Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten

5.3.3 Das Fourier-Spektrum

5.4 Diskrete Fourier-Transformation und FFT

5.4.1 Definition der diskreten Fourier-Transformation

5.4.2 Aliasing, Nyquist-Frequenz, „sampling“

5.4.3 Das Prinzip der schnellen Fourier-Transformation

5.4.4 M-Files zur Demonstration des FFT-Prinzips

5.5 Die Fourier-Transformation näher kennenlernen

5.6 Die einfache Faltung

5.6.1 Das Prinzip der einfachen Faltung

5.6.2 Die Faltung als Multiplikation von Polynomen

5.6.3 Die Formel zur Faltung von Zahlenfolgen

5.6.4 Beispiele von einfachen Faltungen

5.6.5 Die Faltung von kontinuierlichen Funktionen

5.7 Zirkuläre Faltung – Faltungssatz

5.7.1 Die Definition der zirkulären Faltung

5.7.2 Der Faltungssatz

5.7.3 Zwei- und mehrdimensionale Faltungen

5.8 Funktionssystem- Faltungs- und Fourier-Theorie aktivieren

6 Funktionen von mehreren Variablen

6.1 Grundbegriffe der Funktionen von mehreren Variablen

6.1.1 Die Funktionsdefinition

6.1.2 Grafische Darstellung

6.1.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen

6.1.4 Illustration der partiellen Ableitung

6.2 Das Bilden von partiellen Ableitungen

6.2.1 Grundprinzip des partiellen Ableitens

6.2.2 Ableitungstabelle für Grundfunktionen

6.2.3 Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen

6.2.4 Beispiele von partiellen Ableitungen

6.2.5 Partielle Ableitungen im symbolischen Modus

6.3 Partielle Ableitungen und das totale Differential

6.3.1 Die Formel für das totale Differential

6.3.2 Anwendung zur Berechnung der Volumenausdehnung

6.3.3 Empfindlichkeit der Eigenfrequenz

6.3.4 Kommerzielle Einflussanalyse

6.3.5 Das Optimierungsprinzip in mehreren Variablen

6.4 Höhenlinien- und Flächenplots

6.4.1 Höhenlinien

6.4.2 Dreidimensionale Flächendarstellungen

6.4.3 Die Funktion Meshgrid

6.4.4 Darstellung der Gradientvektoren

6.4.5 Kombinierte Flächen- und Konturdarstellungen

6.5 Ausgleichsrechnung

6.5.1 Geradenfit als Beispiel

6.5.2 Allgemeine lineare Ausgleichsprobleme

6.6 Algorithmen zur Ausgleichsrechnung

6.6.1 Normalengleichungen und Fehlergleichungen

6.6.2 Singular Value Decomposition

6.7 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren

6.7.1 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen

6.7.2 Beispiele für Lagrange-Multiplikatoren

6.8 Nichtlineare Gleichungssysteme

6.9 Kenntnisse von Funktionen mehrerer Variablen aktivieren

7 Differentialgleichungen

7.1 Die Bedeutung von Differentialgleichungen in Physik und Technik

7.1.1 Was ist eine Differentialgleichung?

7.1.2 Grundtypen von Differentialgleichungen

7.2 Beispiele zu den Differentialgleichungs-Typen

7.2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen

7.2.2 Partielle Differentialgleichungen

7.3 Analytische Lösungen von Differentialgleichungen

7.3.1 Lösungs-Prinzipien

7.3.2 Beispiele analytischer Lösungen

7.3.3 Oszillatorgleichungen

7.4 Lösungen mit Laplace-Transformationen

7.4.1 Das Lösungsprinzip

7.5 Numerische Lösungverfahren für Anfangswertprobleme

7.5.1 Das Grundprinzip der Lösung von Anfangswertproblemen

7.5.2 Das Euler-Verfahren

7.5.3 Runge-Kutta Verfahren

7.5.4 Explizite und implizite Verfahren

7.6 Anfangswertprobleme mit MATLAB lösen

7.6.1 Radioaktive Zerfälle

7.6.2 Der schiefe Wurf, ein Körper im Gravitationsfeld

7.6.3 Der gedämpfte harmonische Oszillator

7.6.4 Demonstration des Steifheit-Effektes

7.6.5 Geladene Teilchen im Magnetfeld

7.6.6 E B-Drift: Elektrische und magnetische Felder

7.7 Schnuppern am Chaos

7.7.1 Der Lorenz’sche Strange Attractor

7.8 Kenntnisse über Differentialgleichungen aktivieren

8 Grundlagen der Statistik

8.1 Motivation: Überblick über große Datenmengen

8.1.1 Die Schuhgrößen als Beispiel

8.1.2 Schlüsselzahlen zum Charakterisieren von Verteilungen

8.1.3 Die Formeln zur Median-Familie

8.1.4 Die Formeln zu Mittelwert und Standard-Abweichung

8.1.5 Der grafische Test einer Verteilung

8.2 Regressions-Analyse

8.2.1 Korrelations-Untersuchungen für zwei Dimensionen

8.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

8.3.1 Die Grundelemente von Glücksspielen

8.3.2 Anordnungs- und Auswahlformeln

8.3.3 Wahrscheinlichkeit, mathematisch definiert

8.3.4 Beispielprobleme

8.4 Statistische Verteilungen

8.4.1 Dichte und Wahrscheinlichkeitsverteilung

8.4.2 Diskrete Verteilungen

8.4.3 Stetige Verteilungen

8.5 Stichproben und Tests

8.5.1 Der Ablauf einer Stichprobe

8.5.2 Statistische Tests

8.6 Kenntnisse zu den Grundlagen der Statistik aktivieren

Anhang A MATLAB professionell einsetzen

A.1 Erweiterungen in grafischer Richtung

A.1.1 Audio-Video-Sequenzen und Webinare

A.1.2 Erstellen von grafischen Benutzeroberflächen mit GUIDE

A.1.3 Simulink

A.2 Die Ausdehnung der Einsatzmöglichkeiten

A.2.1 Erweiterungen im Basispaket

A.2.2 Zusatzpakete

A.2.3 Die weltweite Benutzergemeinschaft

A.2.4 Rüclmeldungen und weitere Beispiele

Literaturhinweise

Zum guten Ende

Stichwortverzeichnis

EULA