Robotik mit MATLAB - Mit 40 Beispielen, 55 Aufgaben und 37 Listings (Lehrbücher zur Informatik)

2 Grundlagen der Robotermathematik (S. 39-40)

Zielsetzung

Formale, mathematische Modelle sind Voraussetzung für die Programmierung. Dafür sollen die Grundlagen der Robotermathematik vermittelt werden. Der erste Schritt der Robotermodellierung ist die Beschreibung der Mechanik durch geometrische Elemente und ihre gegenseitigen Bezüge. Die Voraussetzung für eine Berechnung sind analytische Methoden, deren Grundlage die Theorie der Vektoren, Matrizen und linearen Gleichungssysteme bildet.

Da Roboter häufig Drehachsen besitzen, ist die Berechnung von Winkeln, die durch die verschiedenen geometrischen Elemente bestimmt werden, eine wichtige Anforderung. Bei der Generierung von sanften, ableitbaren räumlichen und zeitlichen Verläufen spielen Polynome eine wichtige Rolle. Schließlich ist es oft unerlässlich, die Abhängigkeit von Größen bei nur kleinen, differentiellen Änderungen zu berechnen. Auf diese Weise können lineare Gleichungssysteme zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Zusammenhänge benutzt werden.

2.1 Formale Modelle

Ein wesentliches Teilgebiet der Robotik sind Verfahren zum Steuern und Überwachen von Robotern mit Hilfe von Rechnersystemen. Die dafür benötigte Software muss Wissen repräsentieren über

• die Eigenschaften der Robotersysteme,
• die durchzuführenden Anwendungsprozesse,
• die Art und Weise der Bedienerdialoge.

Ein kleines Beispiel soll dies verdeutlichen.
Beispiel 2.1 Wissenskomponenten eines Roboters
Die Aufgabe besteht darin, die Werkzeugspitze eines Roboters auf einer geradlinigen Bahn zu verfahren. Für die Durchführung müssen die folgenden Wissenskomponenten vorhanden sein:

1. Mathematische Beschreibung einer geradlinigen Bahn im Arbeitsraum des Roboters.
2. Überführung der räumlichen Ausrichtung des Effektors am Anfang der Bahn in die Endstellung.
3. Berechnung von Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung, basierend auf den vom Anwender vorgegebenen Zieldaten und den durch Mechanik und Elektrik zulässigen Grenzwerten.
4. Berechnung der sich ergebenden Achswinkel des Roboters auf Grund seiner mechanischkinematischen Struktur.
5. Berechnung und Regelung der Ströme und Spannungen für die elektrischen Antriebe unter Berücksichtigung der dynamischen Eigenschaften.
6. Falls ein Bahnsensor vorhanden ist, muss der Einfluss der Sensordaten auf den programmierten Bewegungsablauf berechnet werden.
7. Maßnahmen im Fehlerfall.

Um dieses Roboterwissen mit Hilfe einer formalen Computersprache als Software darzustellen, muss es zuvor in eine formale Form gebracht werden. Dabei hilft die Mathematik. In Bild 2.1 ist dieser Transformationsprozess dargestellt. Das zunächst vorhandene nichtformale Wissen über das Robotersystem wird mit Hilfe der Mathematik in mathematische und damit formale Modelle überführt. Diese können durch formale Computersprachen implementiert und auf Rechnern zur Ausführung gebracht werden. Die beiden folgenden Definitionen sollen diese beiden wichtigen Begriffe klarstellen.

Definition – Modell

Ein Modell stellt die wesentlichen Eigenschaften und Verhaltensweisen eines natürlichen Phänomens dar. Formale mathematische Modelle sind berechenbar und können mit formalen Sprachen dargestellt werden.