Mathematik - anschaulich und unterhaltsam

3 Darstellung von Zahlen (S. 128-129)

Thematisiert werden Zahlendarstellungen bereits in der Unterstufe. Allerdings muss man, um die Darstellung von Zahlen richtig zu verstehen, die Potenzrechenregeln sicher beherrschen. Sie müssten jetzt in dieser Situation sein und können deshalb in diesem Kapitel die Darstellung von Zahlen von einer höheren Warte aus betrachten. Sie werden hier alles über das raffi nierte Stellenwertsys tem lernen. Zahlen im Zweiersystem (Dualzahlen) oder im Sechszehnersystem („Hexzahlen“) werden wie Zahlen im Zehnersystem zu Selbstverständlichkei ten. Vielleicht werden Sie erstaunt sein, dass auch Zahlen im Sechziger- und im Tausendersystem keine Exoten sind. In dieses Kapitel gehört auch die Darstellung rationaler Zahlen (Brüche) mithilfe der Perioden. Mithilfe der periodischen Dezimalbrüche können Sie dann Ihr Grundwissen über die irrationalen bzw. reellen Zahlen überprüfen.


3.1 Stellenwertsysteme

Im Abschnitt 2.9 wurde auf die Nachteile bei der Verwendung von Brüchen zur Darstellung rationaler Zahlen hingewiesen. Alle Fliegen mit einer Klappe scheint man zu erschlagen, wenn man Brüche dezimal darstellt. Natürlich sind Sie mit Dezimalzahlen vertraut. Sie werden sehen, dass eine nochmalige Beschäftigung mit diesen Zahlen durchaus sinnvoll ist. Dazu sehen wir uns zunächst das geniale, aus Indien stammende Stellenwertsystem, an. Die vier nicht aus Indien stammenden Sechsfi ngermonster in Bild 3.1.1 sollen dieses System demonstrieren und mit ihren Fingern die Elemente einer Menge abzählen.

Die Basis für das Abzählsystem der Sechsfi ngermonster ist natürlich ihre Fin gerzahl, im Folgenden auch mit b bezeichnet. Das Monster an Stelle 0 zählt, indem es für jedes erfasste Element einen Finger herausstreckt. Sobald es allerdings alle (sechs) Finger ausgestreckt hat, ballt es sofort wieder die Hände zur Faust und fängt von vorne an. Die schon gezählten Elemente sind damit aber nicht vergessen, denn nun kommt das Monster an der Stelle 1 ins Spiel. Immer, wenn an Stelle 0 alle Finger gezeigt werden, muss es selbst einen herausstrecken. Sind an Stelle 1 alle Hände voll, werden auch an dieser Stelle die Fäuste geballt und es wird wieder begonnen, von vorn zu zählen. Nun erfolgt ein Übertrag nach Stelle 2, denn dort wird gezählt, wie oft an Stelle 1 alle Finger draußen waren. Das geht nach diesem Prinzip so weiter. Jede Figur ab Stelle 1 muss immer zählen, wie oft der rechte Nachbar alle Finger draußen hatte.

Betrachten wir nun die Wertigkeit der Finger! Man nennt sie die Stellenwerte ! Jeder Finger an Stelle 0 entspricht einem Einer (60 = 1). An Stelle 1 wird immer nur dann ein Finger herausgestreckt, wenn der Vorgänger (kurz) alle 6 Finger zeigte. Sein Stellenwert beträgt somit 61. Die folgende Figur reagiert mit einem Finger auf volle Hände an Stelle 1. Das sind dann 6x6 = 6². Der Stellenwert ist somit 6². Das setzt sich so fort. Der Stellenwert von Stelle 3 beträgt schon 6³. Die Stellenwerte ergeben sich somit ganz einfach aus den Potenzen der Basis. Damit das auch für die 0-te Stelle gilt, schreibt man formal für die Einer b0. Die Anzahl der Stellen kann man natürlich für größere Zahlen beliebig erhöhen. Ist die Abzählprozedur abgeschlossen, behalten unsere Figuren die Finger oben. Das Zählsystem beinhaltet, dass dann keines der Monster mehr als b − 1 Finger oben haben kann! In Bild 3.1.1 werden beispielsweise an Stelle 0 fünf, an Stelle 1 drei, an Stelle 2 vier und an Stelle 3 ein Finger gezeigt.