Geometrie - Anwendungsbezogene Grundlagen und Beispiele

1 Anknüpfung an die Schulgeometrie (S. 10-11)

Dieses Kapitel will und kann nicht den mehrjährigen Schulunterricht auf wenigen Seiten zusammenfassen oder gar ersetzen. Sein Ziel ist es vielmehr, am Beispiel einiger bekannter (falls nötig auch aufgefrischter) Zusammenhänge in die Vorgehensweise der Geometrieausbildung für Ingenieure einzuführen und an ausgewählten Stellen einen Ausblick auf Inhalte "jenseits des Schulwissens" zu geben. Umfassende, aber kompakte übersichten über die Schulgeometrie enthalten die Geometrieteile von Werken wie [Frank et al. 1998, Gottwald et al. 1995, Reinhardt 2003, Scharlau 2001].

1.1 Dreiecke, Vierecke, Vielecke

Seit Generationen werden Schüler im Mathematik-Unterricht mit Dreieckskonstruktionen und -berechnungen gequält. Warum ist das so?

Zum einen sind Dreiecke in Konstruktionen, die eine hohe Stabilität erfordern, unentbehrlich. Als Beispiel seien hier der Fachwerkbau, die Pro le von Bogenbrücken (Bild 1.1) und der durch das Gewicht des Fahrers besonders belastete hintere Teil des Fahrradrahmens (Bild 1.2) genannt. Die Stabilität ist gewährleistet, da die Gestalt eines Dreiecks durch seine Seitenlängen eindeutig bestimmt ist (Kongruenzsatz SSS, Bild 1.16). Eine Verformung ist also nur durch änderung der Seitenlängen möglich. Diese Eigenschaft ist typisch für Dreiecke; bei Vier- und Vielecken ist eine Verformung ohne änderung der Seitenlängen möglich. (Bild 1.3).

Zum anderen können komplizierte Flächen durch eine Menge von Dreiecken approximiert, d.h. angenähert werden. Bild 1.4 zeigt am Beispiel der gekr ümmten Oberäche einer Glühlampe, wie durch eine steigende Anzahl von (ebenen) Dreiecken eine immer besser werdende Anpassung an eine gegebene (gekrümmte) Oberäche erzielt werden kann. Die dadurch erö nete Möglichkeit, komplexe geometrische Strukturen näherungsweise durch elementare zu ersetzen, ist die Grundlage der Finite-Elemente-Methode. Diese ist ein Verfahren zur Lösung mathematisch formulierbarer Probleme zur Ermittlung von Spannungen und Dehnungen an komplizierten, analytisch nicht oder nur aufwändig berechenbaren, belasteten Bauteilen. Das Bauteil wird dabei durch eine Anzahl von Teilstücken (Elementen) endlicher ( niter) Gröe idealisiert. Als Elemente werden dabei häufig Dreiecke benutzt. Die Finite-Elemente-Methode sprengt den Rahmen dieser Geometrie-Einführung, eine Grundlage für deren Verständnis ist jedoch das Verstehen der Geometrie von Dreiecken.

Aufgabe 1.1 Dreiecke sind also durch ihre Seitenlängen eindeutig bestimmt, bei Vierecken ist das offensichtlich nicht der Fall. Ist die Gestalt eines Vierecks eindeutig, wenn neben den Seitenlängen zusätzlich einer der vier Innenwinkel vorgegeben ist? Falls ja, beschreiben Sie die entsprechende Konstruktion. Begründen Sie Ihre Antwort!

Bekanntlich können Dreiecke nach ihrem größten Innenwinkel in spitz-, recht- und stumpfwinklige eingeteilt werden. Sind zwei der drei Seiten gleich lang, so spricht man von einem gleichschenkligen Dreieck; sind sogar alle drei Seitenlängen identisch, so nennt man das Dreieck gleichseitig. Die aus dem Schulunterricht (ho entlich) ebenfalls bekannten Begriffe Höhen, Mittelsenkrechte, Seiten- und Winkelhalbierende und darauf basierende Zusammenhänge sind in Bild 1.5 zusammengefasst. Unter Winkelhalbierenden versteht man dabei die Halbierenden der Innenwinkel. Die Halbierenden der Außenwinkel führen auf die Ankreise (Bild 1.6); die Seitenmittelpunkte, die Höhenfußpunkte und die Mittelpunkte zwischen Höhenschnittpunkt und Seitenecken auf den Feuerbachkreis (Bild 1.7). Dieser durch neun Punkte verlaufende Kreis wurde von Karl Wilhelm Feuerbach (1800{1834) zunächst als Sechspunktekreis entdeckt.