Mathematik für Wirtschaftsingenieure

3 Vektorrechnung (S. 51-52)

Einführungsbeispiel 3.1 Geschwindigkeit und Kraft

Ändert ein (als Massenpunkt idealisierter) Körper seinen Ort, so sind zur Beschreibung dieser Bewegung (Ortsänderung) zwei Informationen von Interesse: Die „Schnelligkeit" der Ortsänderung und die Richtung, in die sich der Körper bewegt. Beide Informationen können zu einer Größe zusammengefasst werden, die mathematisch einen Vektor darstellt und durch einen Pfeil veranschaulicht werden kann. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für die „Schnelligkeit", die Richtung des Pfeils ist die Richtung, in die sich der Körper bewegt. Wirkt auf den Körper eine Kraft, so ist diese gekennzeichnet durch zwei Eigenschaften: Die „Stärke" der Kraft und die Richtung, in welche die Kraft wirkt. Auch diese beiden Eigenschaften können zu einer Größe zusammengefasst werden, die einen Vektor darstellt und durch einen Pfeil veranschaulicht werden kann. Die Länge des Pfeils hat die Bedeutung der „Stärke" der Kraft, die Richtung des Pfeils ist die Richtung, in welche die Kraft wirkt. Bild 3.1 zeigt die Bahn eines Körpers (bzw. Massenpunktes) bei einem schrägen Wurf (unter Vernachlässigung der Luftreibung). Die auf den Körper wirkende Kraft F und die Geschwindigkeit v des Körpers sind für einige Stellen der Bahn durch Pfeile bzw. Vektoren dargestellt.

3.1 Einführung und Grundbegriffe

Geschwindigkeit und Kraft sind Beispiele für Größen, die gekennzeichnet sind durch einen Betrag und eine Richtung. Solche Größen können durch Pfeile veranschaulicht werden. Als Symbol für einen Vektor wird deshalb ein Buchstabe mit einem Pfeil darüber verwendet (s. Bild 3.2).

Die Länge des Pfeils ist der Betrag, die Richtung des Pfeils die Richtung der Größe. Man spricht von gerichteten Größen und definiert anschaulich:

Gerichtete Größen heißen Vektoren.

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben. Das bedeutet, dass alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung den gleichen Vektor repräsentieren. Ein Pfeil ist ein Objekt in der Ebene oder im Raum und kann mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems beschrieben werden. Ein ebenes bzw. räumliches kartesisches Koordinatensystem wird aufgespannt von zwei bzw. drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen. Bei einem Rechtssystem sind die Koordinatenachsen so orientiert, wie es in Bild 3.3 gezeigt ist.