Statistik mit Excel

 

KAPITEL 3 (S. 117-120)

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Excel

Vielleicht irritiert es Sie mehrfach, dass das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung in diesem Buch behandelt wird. Einmal hört sich der Begriff schon so an, als hätte er nichts mit der exakten Wissenschaft der Statistik zu tun. Dann erscheint es auch fragwürdig, ob mit Wahrscheinlichkeiten überhaupt (im Sinne der Mathematik) gerechnet werden kann. Und was Excel damit zu tun hat, ist sowieso unklar (wenn man einmal von der Fragestellung „Hoffentlich stürzt mir Excel nicht wieder mitten in der Arbeit ab" absieht.

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung kein unwesentlicher Bereich der Statistik. Da oftmals nicht mit kompletten Grundgesamtheiten, sondern mit Auszügen daraus (so genannten Stichproben) gearbeitet wird, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit der erlangten Aussagen unbedingt zu stellen. In der Mathematik ist der Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter dem Begriff Stochastik eingeordnet, also eine über die Statistik hinausgehende Sache.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, und zwar in dem Maße, in dem diese mit Excel dargestellt werden kann. Das Kapitel fällt also knapper aus, als Sie es in manchen anderen Statistiklehrbüchern finden. Das folgende Kapitel handelt von der Normalverteilung und hat damit auch etwas mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun – doch damit greife ich vor. Beschäftigen wir uns zuvor lieber etwas damit, was Wahrscheinlichkeiten sind.

Wie wahrscheinlich ein Ereignis ist hängt davon ab, mit welcher Sicherheit dieses zu erwarten ist. Ausgedrückt wird das (in der Wahrscheinlichkeitsrechnung) immer durch eine Zahl oder einen Prozentwert. Je stärker die Zahl gegen 1 oder 100% geht, umso wahrscheinlicher ist es, dass das Ereignis eintritt und je stärker es gegen 0 oder 0% geht, umso unwahrscheinlicher ist das Eintreten des Ereignisses.

Die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit geht eigentlich auf eine reine Addition zurück (lassen Sie sich nicht irritieren, nur weil die Formeln komplizierter aussehen!). Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten sämtlicher möglicher Ereignisse gibt immer 1 oder 100%.

Kombinieren und Wiederholen

Die Kombinatorik als Teilgebiet der Mathematik wird auch der Statistik zugerechnet. Zumindest deren Methoden werden auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer wieder eingesetzt. Deshalb vorweg einiges zu diesem Thema.

Kombinatorische Fragestellungen

Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anordnung verschiedener Dinge. Das können Buchstaben, aber auch Gegenstände oder Experimente sein.

Typische Fragestellungen sind:

• Wie viele Möglichkeiten gibt es, Paare (2) aus einer Gruppe von Personen (z.B. 8) zusammenzustellen?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Gruppe von 49 Zahlen 6 Zahlen auszuwählen?
• Die Kombination an einem Banksafe besteht aus vier Zahlenscheiben mit jeweils den Ziffern 0–9. Wie viel Möglichkeiten muss ein Bankräuber durchprobieren, wenn er den Safe ohne Gewalt öffnen will.

Viele Probleme aus der Kombinatorik können auf zwei grundsätzliche Fragen zurückgeführt werden:

1. Auf wie viele Arten lassen sich die Elemente einer Menge (M) hinsichtlich einer vorgegebenen Eigenschaft anordnen.
2. Wie viele verschiedene Teilmengen (Auswahlen von k Elementen) aus einer Grundmenge M gibt es?

Permutationen

Jede Zusammenstellung einer endlichen Anzahl von Elementen in irgendeiner Anordnung, in der sämtliche Elemente verwendet werden, heißt Permutation der gegebenen Elemente. Eigentlich haben wir mit so etws im täglichen Leben ständig zu tun.

Permutationen ohne Wiederholung

Beispiel:

Bei einem Schwimmwettbewerb werden die 6 Bahnen unter den 6 Teilnehmern des Wettkampfes ausgelost. Dazu werden aus einer Urne die Namenszettel gezogen. Dabei ergeben sich folgende Möglichkeiten für die einzelnen Bahnen:

1. Bahn: Jeder Schwimmer ist noch an der Ziehung beteiligt -> 6 Möglichkeiten.
2. Bahn: Nur noch 5 Schwimmer sind an der Ziehung beteiligt -> 5 Möglichkeiten.
3. Bahn: 4 Schwimmer -> 4 Möglichkeiten.
4. Bahn: 3 Schwimmer -> 3 Möglichkeiten.
5. Bahn: 2 Schwimmer -> 2 Möglichkeiten.
6. Bahn: 1 Schwimmer -> 1 Möglichkeit.

Jede Möglichkeit kann mit einer anderen kombiniert werden. So ergeben sich

6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 Zuordnungsmöglichkeiten. Jede dieser einzelnen Möglichkeiten bezeichnet man als Permutation oder auch als 6-Tupel.