Mathematik. Textgleichungen 8. Klasse. Aufgabentexte umsetzen - Lösungsverfahren anwenden

Grundlegendes zu Gleichungen (Auffrischung) (S.9)

Gleichungen sind Steckbriefe für Zahlen.

Die Gleichung 5 + x = 17
3 · x = 36
x : 4 = 3

ist der Steckbrief für diejenige Zahl, die man zu 5 addieren muss, um 17 zu erhalten.

Diejenige Menge, unter deren Elementen man sich auf die Suche nach der im Steckbrief beschriebenen Zahl macht, bezeichnet man als Grundmenge.

Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben wird, dann soll im Folgenden stets die Menge der rationalen Zahlen die Grundmenge sein. Diejenigen Zahlen aus der Grundmenge, auf die der Steckbrief zutrifft, fasst man zur Lösungsmenge zusammen. Sehr oft enthält die Lösungsmenge nur ein einziges Element..

Die einfachste Gleichung hat die Form x = 12

Ihre Lösungsmenge (L) kann man unmittelbar ablesen: L ={12}

Alle anderen Gleichungen muss man durch geeignetes Umformen auf eine solche Form bringen. Geeignet ist eine Umformung dann, wenn sich dabei nur die Formulierung des Steckbriefs ändert, nicht aber die Zahl, auf die er sich bezieht. Mathematisch ausgedrückt: Bei jeder Umformung einer Gleichung muss man darauf achten, dass die gesuchte Zahl bzw. die gesuchten Zahlen dieselben bleiben, dass sich also die Lösungsmenge nicht ändert. Solche Umformungen bezeichnet man als Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformungen sind:

Addition derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung Subtraktion derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung deren 3faches Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit derselben von null verschiedenen Zahl

In der Regel muss man mehrere dieser äquivalenten Umformungen vornehmen, um die gegebene Gleichung in die erstrebte Form „x = ..." zu bringen..