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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler - Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen
Michael Merz, Mario V. Wüthrich
Verlag Verlag Franz Vahlen, 2013
ISBN 9783800644834 , 887 Seiten
Format PDF, OL
Kopierschutz Wasserzeichen
Cover
1
Zum Inhalt_Autor
2
Titel
3
Widmung
Widmung
Vorwort
5
Inhaltsverzeichnis
10
Teil I: Mathematische Grundlagen
15
1. Aussagenlogik und mathematische Beweisführung
16
1.1 Was ist Mathematik?
17
1.2 Axiom, Definition und mathematischer Satz
18
1.3 Aussagenlogik
20
1.4 Aussageformen und Quantoren
29
1.5 Vermutung, Satz, Lemma, Folgerung und Beweis
33
1.6 Mathematische Beweisführung
34
1.7 Vollständige Induktion
38
2. Mengenlehre
43
2.1 Mengen und Elemente
44
2.2 Mengenoperationen
46
2.3 Rechnen mit Mengenoperationen
49
2.4 Mengenoperationen für beliebig viele Mengen und Partitionen
53
2.5 Partitionen
54
3. Zahlenbereiche und Rechengesetze
55
3.1 Aufbau des Zahlensystems
56
3.2 Zahlenbereiche N und N0
56
3.3 Zahlenbereiche R, R+ und R
57
3.4 Zahlenbereiche Z, Q und I
61
3.5 Dezimal- und Dualsystem
63
3.6 Zahlenbereich C
64
3.7 Mächtigkeit von Mengen
75
4. Terme, Gleichungen und Ungleichungen
81
4.1 Konstanten, Parameter, Variablen und Terme
82
4.2 Gleichungen
82
4.3 Algebraische Gleichungen
85
4.4 Quadratische Gleichungen
88
4.5 Ungleichungen
92
4.6 Indizierung, Summen und Produkte
95
5. Trigonometrie und Kombinatorik
99
5.1 Trigonometrie
100
5.2 Binomialkoeffizienten
104
5.3 Binomischer Lehrsatz
106
5.4 Kombinatorik
107
6. Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen
117
6.1 Kartesische Produkte
118
6.2 Relationen
119
6.3 Äquivalenzrelationen
124
6.4 Ordnungsrelationen
126
6.5 Präferenzrelationen
128
6.6 Abbildungen
129
6.7 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
135
6.8 Komposition von Abbildungen
136
6.9 Umkehrabbildungen
139
Teil II: Lineare Algebra
144
7. Euklidischer Raum Rn und Vektoren
145
7.1 Ursprung der linearen Algebra
146
7.2 Lineare Algebra in den Wirtschaftswissenschaften
147
7.3 Euklidischer Raum Rn
147
7.4 Lineare Gleichungssysteme
151
7.5 Euklidisches Skalarprodukt und euklidische Norm
153
7.6 Orthogonalität und Winkel
156
7.7 Linearkombinationen und konvexe Mengen
160
7.8 Lineare Unterräume und Erzeugendensysteme
164
7.9 Lineare Unabhängigkeit
165
7.10 Basis und Dimension
171
7.11 Orthonormalisierungsverfahren von Schmidt
175
7.12 Orthogonale Komplemente und orthogonale Projektionen
176
8. Lineare Abbildungen und Matrizen
182
8.1 Lineare Abbildungen
183
8.2 Matrizen
187
8.3 Spezielle Matrizen
191
8.4 Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen, Matrizen und linearen Gleichungssystemen
192
8.5 Matrizenalgebra
195
8.6 Rang
203
8.7 Inverse Matrizen
206
8.8 Symmetrische und orthogonale Matrizen
210
8.9 Spur
213
8.10 Determinanten
214
9. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
229
9.1 Eigenschaften linearer Gleichungssysteme
230
9.2 Elementare Zeilenumformungen und Zeilenstufenform
232
9.3 Gauß-Algorithmus
235
9.4 Matrizengleichungen
238
9.5 Bestimmung der Inversen mittels Gauß-Algorithmus
240
9.6 Bestimmung des Rangs mittels Gauß-Algorithmus
241
10. Eigenwerttheorie und Quadratische Formen
243
10.1 Eigenwerttheorie
244
10.2 Power-Methode
253
10.3 Ähnliche Matrizen
256
10.4 Diagonalisierbarkeit
257
10.5 Trigonalisierbarkeit
263
10.6 Quadratische Formen
264
10.7 Definitheitseigenschaften
267
Teil III: Folgen und Reihen
273
11. Folgen
274
11.1 Folgenbegriff
275
11.2 Arithmetische und geometrische Folgen
279
11.3 Beschränkte und monotone Folgen
280
11.4 Konvergente und divergente Folgen
284
11.5 Majoranten- und Monotoniekriterium
287
11.6 Häufungspunkte und Teilfolgen
288
11.7 Cauchy-Folgen
293
11.8 Rechenregeln für konvergente Folgen
294
12. Reihen
303
12.1 Reihenbegriff
304
12.2 Konvergente und divergente Reihen
305
12.3 Arithmetische und geometrische Reihen
306
12.4 Konvergenzkriterien
311
12.5 Rechenregeln für konvergente Reihen
317
12.6 Absolute Konvergenz
319
12.7 Kriterien für absolute Konvergenz
321
12.8 Doppelreihen
326
12.9 Produkte von Reihen
327
Teil IV: Reelle Funktionen
330
13. Eigenschaften reeller Funktionen
331
13.1 Reelle Funktionen
332
13.2 Rechenoperationen für reelle Funktionen
332
13.3 Beschränktheit und Monotonie
334
13.4 Konvexität und Konkavität
337
13.5 Ungleichungen
344
13.6 Symmetrische und periodische Funktionen
345
13.7 Infimum und Supremum
349
13.8 Minimum und Maximum
351
13.9 c-Stellen und Nullstellen
354
13.10 Grenzwerte von reellen Funktionen
355
13.11 Landau-Symbole
369
13.12 Asymptoten und Näherungskurven
370
14. Spezielle reelle Funktionen
373
14.1 Polynome
374
14.2 Rationale Funktionen
380
14.3 Algebraische und transzendente Funktionen
390
14.4 Potenzfunktionen
392
14.5 Exponential- und Logarithmusfunktion
394
14.6 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion
399
14.7 Trigonometrische Funktionen
402
15. Stetige Funktionen
410
15.1 Stetigkeit
411
15.2 Einseitige Stetigkeit
415
15.3 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation
417
15.4 Stetig hebbare Definitionslücken
419
15.5 Eigenschaften stetiger Funktionen
422
15.6 Stetigkeit spezieller Funktionen
424
15.7 Satz vom Minimum und Maximum
428
15.8 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz
430
15.9 Fixpunktsätze
433
15.10 Gleichmäßige Stetigkeit
436
Teil V: Differentialrechnung und Optimierung in R
439
16. Differenzierbare Funktionen
440
16.1 Tangentenproblem
441
16.2 Differenzierbarkeit
442
16.3 Weierstraßsche Zerlegungsformel
446
16.4 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
447
16.5 Differenzierbarkeit elementarer Funktionen
453
16.6 Ableitungen höherer Ordnung
459
16.7 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
463
16.8 Regeln von L’Hôspital
473
16.9 Änderungsraten und Elastizitäten
480
17. Taylor-Formel und Potenzreihen
488
17.1 Taylor-Polynom
489
17.2 Taylor-Formel
493
17.3 Taylor-Reihe
496
17.4 Potenzreihen und Konvergenzradius
501
17.5 Quotienten- und Wurzelkriterium für Potenzreihen
504
17.6 Rechenregeln für Potenzreihen
506
17.7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen
509
18. Optimierung und Kurvendiskussion in R
512
18.1 Optimierung und ökonomisches Prinzip
513
18.2 Notwendige Bedingung für Extrema
513
18.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema
516
18.4 Notwendige Bedingung für Wendepunkte
523
18.5 Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte
525
18.6 Kurvendiskussion
528
Teil VI: Integralrechnung in R
533
19. Riemann-Integral
534
19.1 Grundlagen
535
19.2 Riemann-Integrierbarkeit
535
19.3 Eigenschaften von Riemann-Integralen
546
19.4 Ungleichungen
549
19.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung
551
19.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
553
19.7 Berechnung von Riemann-Integralen
559
19.8 Integration spezieller Funktionsklassen
571
19.9 Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
576
19.10 Uneigentliches Riemann-Integral
577
19.11 Integration von Potenzreihen
594
20. Riemann-Stieltjes-Integral
596
20.1 Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit
597
20.2 Eigenschaften von Riemann-Stieltjes-Integralen
600
20.3 Reelle Funktionen von beschränkter Variation
602
20.4 Existenzresultate für Riemann-Stieltjes-Integrale
605
20.5 Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen
609
Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn
615
21. Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn
616
21.1 Folgen und Reihen
617
21.2 Topologische Grundbegriffe
622
21.3 Reellwertige Funktionen in n Variablen
626
21.4 Spezielle reellwertige Funktionen in n Variablen
629
21.5 Eigenschaften von reellwertigen Funktionen in n Variablen
636
21.6 Grenzwerte von reellwertigen Funktionen in n Variablen
640
21.7 Stetige Funktionen
641
22. Differentialrechnung im Rn
647
22.1 Partielle Differentiation
648
22.2 Höhere partielle Ableitungen
656
22.3 Totale Differenzierbarkeit
660
22.4 Richtungsableitung
669
22.5 Partielle Änderungsraten und partielle Elastizitäten
672
22.6 Implizite Funktionen
675
22.7 Taylor-Formel und Mittelwertsatz
680
23. Riemann-Integral im Rn
687
23.1 Riemann-Integrierbarkeit im Rn
688
23.2 Eigenschaften von mehrfachen Riemann-Integralen
691
23.3 Satz von Fubini
693
23.4 Mehrfache Riemann-Integrale über Normalbereiche
697
23.5 Parameterintegrale
698
Teil VIII: Optimierung im Rn
701
24. Nichtlineare Optimierung im Rn
702
24.1 Grundlagen
703
24.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen
703
24.3 Optimierung unter Gleichheitsneben-bedingungen
719
24.4 Wertfunktionen und Einhüllendensatz
735
24.5 Optimierung unter Ungleichheitsnebenbedingungen
740
24.6 Optimierung unter Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen
748
25. Lineare Optimierung
753
25.1 Grundlagen
754
25.2 Graphische Lösung linearer Optimierungsprobleme
756
25.3 Standardform eines linearen Optimierungsproblems
758
25.4 Simplex-Algorithmus
765
25.5 Sonderfälle bei der Anwendung des Simplex-Algorithmus
773
25.6 Phase I und Phase II des Simplex-Algorithmus
776
25.7 Dualität
779
25.8 Dualer Simplex-Algorithmus
786
Teil IX: Numerische Verfahren
789
26. Intervallhalbierungs-, Regula-falsi- und Newton-Verfahren
790
26.1 Numerische Lösung von Gleichungen
791
26.2 Intervallhalbierungsverfahren
792
26.3 Regula-falsi-Verfahren
794
26.4 Newton-Verfahren
797
26.5 Sekantenverfahren und vereinfachtes Newton-Verfahren
801
27. Polynominterpolation
805
27.1 Grundlagen
806
27.2 Lagrangesches Interpolationspolynom
808
27.3 Newtonsches Interpolationspolynom
809
27.4 Interpolationsfehler
813
27.5 Tschebyscheff-Stützstellen
814
28. Spline-Interpolation
816
28.1 Grundlagen
817
28.2 Lineare Splinefunktion
819
28.3 Quadratische Splinefunktion
820
28.4 Kubische Splinefunktion
822
29. Numerische Integration
829
29.1 Grundlagen
830
29.2 Rechteckformeln
831
29.3 Tangentenformel
832
29.4 Newton-Cotes-Formeln
834
29.5 Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln
839
Teil X: Anhang
843
A. Mathematische Symbole
844
B. Griechisches Alphabet
850
C. Namensverzeichnis
852
D. Literaturverzeichnis
856
Sachverzeichnis
859
Impressum
Impressum